如果从传统数学史看，数学的发展可以讲成代数、几何、分析、概率、拓扑、逻辑不断分化又统一。但如果从计算机和 AI4Math 看，近十年的主线更像一部数据集形态变化史。
一开始，AI 做数学主要是在回答题：给出最终答案，算 exact match。后来，数据集开始要求模型写过程、生成多条解法、接受 verifier 打分、调用代码执行器、进入 Lean/Coq/Isabelle 这样的 proof assistant，最后又发展出 live leaderboard、去污染评测、研究级问题和提交制 formalization 平台。
换句话说，前沿不只是“模型更会做题了”，而是数学数据集本身从静态题库变成了可执行、可验证、可审计、可持续更新的数学工作流。
这几年 AI 研究的节奏明显变了：模型能力、工具链、论文、开源项目、benchmark 和应用场景都在高速迭代。很多过去需要专家慢慢写、慢慢查的东西，现在可以由模型在几分钟内生成一个看起来很像样的版本：代码、实验计划、定理证明草稿、综述、数据分析、系统设计，甚至新的 conjecture。
这当然是巨大的生产力提升。但它也带来一个更尖锐的问题：当生成速度远远超过人工验证速度时，我们到底靠什么维持可信度？
形式化的重要性，正是在这个背景下突然变得现实起来。
上一篇我们做的是新闻核验：OpenAI 最近公开的 Astra 十项数学结果，究竟是不是“新模型解决了十道著名数学题”。结论是：事情基本属实，但流行说法太粗糙。
这篇换一个问题：如果不看标题党，这十个问题本身到底在研究什么？
它们横跨高维几何、编码理论、群论、算子代数、代数复杂性、量子信息、格算法、凸几何和极值组合。读者很容易只记住“十个难题”，却不知道每一项究竟难在哪里、研究史卡在什么地方、Astra 到底推进了哪一层。
所以这篇是总览：把此前十份专题调研压成一篇大博客，每一项都给一个相对完整的概要。
2025 年 10 月，OpenAI 曾闹过一次很难看的数学误报：公司高管把 GPT-5 找到十道 Erdős 问题的既有文献解答，说成了“解决十道此前未解的问题”。数学家 Thomas Bloom 当时称这是 “a dramatic misrepresentation”，相关帖子随后被删除。
不到一年后，OpenAI 又带着“十道开放问题”回来了。
这一次，材料完全不同：一份 249 页技术文稿、一份 62 页思路说明、十个大型 Lean 文件、十二组 Comparator challenge，以及 OpenAI 对正确性的公开责任声明。产生论证的模型叫 Astra，是 OpenAI 尚未发布的下一代内部模型。
如果这些结果经受住外部审查，这会是 AI 数学从“偶尔参与一篇论文”跨向“同一个通用系统批量产生研究级新数学”的重要节点。
但新闻标题“新模型解决十道著名数学题”仍然漏掉了几乎所有关键限定。
2026 年 6 月，Tau Ceti 还是一个新仓库。到 7 月 31 日的固定快照，它已经有 932 个 Lean 源文件、171,565 行代码和 1,336 个已合并 PR。在最忙的一天，100 个 PR 进入 main。
如果只看这些数字，Tau Ceti 很容易被概括成“AI 正在复制 Mathlib”。但我把它的五个组织仓库、Worker、review archive 和依赖更新链条全部拉到本地后，发现真正值得研究的并不是 AI 写 Lean 有多快，而是它怎样重组了一座数学库的生产关系：
人类写 roadmap 和 rubric，AI 写代码、修代码、审代码；Lean kernel 与 trusted CI 负责机械裁决；每一次 review 都成为公开数据。
这不是一个更大的 theorem-proving benchmark，而是一套正在运行的 formal-library operating system。
2026 年 7 月 30 日，Timothy Chow 在 MathOverflow 发了一个标题很直接的问题：Are we stuck with Lean?
截至本文抓取页面时，这个刚出现一天的问题已有 39 票、超过 1.6 万次浏览、6 个回答。它紧跟在 Lean 的 Collatz-themed soundness 事件之后：一份 AI 参与生成的 artifact 同时穿过了当时的 Lean kernel 与旧版 nanoda。于是一个工程事故很快被推到更大的问题上：
Are there any prospects for any organization to seriously support an alternative to Lean?
如果只按标题回答，讨论很容易变成两种口号：Lean 已经赢了，接受现实；或者 Lean 有过 soundness bug，应该换成 Metamath。六个回答和几十条评论真正说明的是：“被 Lean 锁定”不是一个 yes/no 问题，因为这里至少有六种不同的锁。
短期内，数学形式化确实在 Mathlib、工具链和共同体层面形成了很高的 switching cost；但这不等于 Lean 的 kernel、逻辑基础或今天的实现会永远不可替代。比“全部迁移”更现实的目标，是降低不可逆性：让重要证明能被独立 checker 复核、能跨系统重建，让替代生态得到长期工程投入。
MathOverflow 讨论仍在变化。本文中的票数、浏览量和回答数是 2026 年 7 月 31 日的快照；观点均按作者归属，不代表 MathOverflow、Lean 社区或本文的共同结论。
2026 年 7 月，ICM 在费城开会时，AI 已经不再只是数学大会外围的技术展示。Terence Tao 谈“AI 时代的数学”，Alex Kontorovich 谈数学的未来形态，会场还把 Mathematics for AI 和 AI for Mathematics 拆成两场方向相反的圆桌。
几乎在同一时间，另一批更具体的变化正在发生：开放猜想被整理成 Lean 语句，真实数学仓库中的 sorry 被做成动态 benchmark，最新 arXiv 论文里的 lemma 被实时抽取，模型也开始参与形成研究预印本。
但“AI 已经开始解决开放猜想”这句话仍然需要拆开。它可能指奥赛题，可能指把已知证明翻译成 Lean，可能指找到一个更好的有限构造，也可能真的指一个此前未知的数学结论。这四件事的证据强度完全不同。
2026 年 7 月 28 日，Lean Zulip 的 lean4 stream 出现了一个很难忽略的 topic：Counterexample to the Lean Conjecture (Soundness Bug)。
帖子里的三个事实放在一起，几乎像一道故意设计的判断题：
sorry，#print axioms 没暴露隐藏公理，当时的 comparator.live 和旧版 nanoda 都接受了它。False。这不是“形式化验证忽然失效”的故事，也不是一个模型真的完成了世纪数学突破。它更具体，也更值得研究：一份 proof artifact 把 Lean 官方 kernel 的漏检 与 旧版 nanoda 的另一处漏检 拼在一起，恰好穿过了两套原本彼此独立的检查。
一份不可信的 Lean 项目能够 lake build，不等于它证明了你以为的 theorem。
它可能重新定义了 statement 里的 identifier，用 macro 或 notation 改变表面语法的含义，用不同 typeclass instance 让同一个类型别名展开成另一项，也可能在 build 阶段运行 meta code、写文件，最后再把 sorry warning 藏起来。Lean 很灵活，这种灵活性对正常开发是能力，对 adversarial proof 则是攻击面。
Comparator 的工作，是在一个 reviewer 控制的 theorem statement 与 untrusted proof project 之间建立边界。它不只问“这份代码能否编译”，而是问：它是否证明了 trusted Challenge 中那个精确的 statement，只用了允许的 axioms，并且能被指定的 kernel 接受？
Lean 已经有 kernel，为什么还要再写一个？
答案不是“官方 kernel 不可信，所以换成 nanoda”。nanoda 也有过 soundness bug，而且本系列的主事件正是旧版 nanoda 接受了一个它本应拒绝的 artifact。它的价值来自另一件事：用另一种语言、另一套代码和另一条 proof replay 路径，减少 official Lean kernel 成为唯一故障点。
nanoda 是一个 Rust 编写的 Lean 4 external type checker。
它读取 lean4export 产生的 proof environment，重新检查 declarations、theorem bodies、inductive types、recursors、projections、axioms 和 definitional equality。它不运行 tactic，也不需要相信原项目的 elaborator 输出过程；它关心的是最终导出的 kernel-level 对象能否在自己的实现中成立。